Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

In un array ordinato cerchi due elementi la cui somma sia un valore dato muovendo un puntatore da ciascuna estremità verso l'interno. Qual è la complessità temporale?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. AÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
  2. BLa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
  3. CLa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
  4. DÈ indecidibile
3.Strutture datiMedia

Quale tipo di dato astratto usa l'algoritmo di Dijkstra per scegliere il prossimo vertice da elaborare?

  1. AUna pila
  2. BUn insieme senza ordinamento
  3. CUna coda con priorità di minimo
  4. DUna coda FIFO
4.Strutture datiDifficile

Quale problema della scansione lineare viene ridotto principalmente dal doppio hashing?

  1. ALa necessità di memorizzare le chiavi nella tabella
  2. BL'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
  3. CIl costo O(n) della lettura del valore di una chiave
  4. DLa necessità di una funzione hash
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
31974111210ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Se la somma è troppo piccola il puntatore sinistro si sposta a destra, se è troppo grande il puntatore destro si sposta a sinistra, quindi ci sono al massimo n passi.

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

B · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: C · Una coda con priorità di minimo

Perché è questa la risposta

Una coda con priorità di minimo, di solito un heap binario, restituisce in modo efficiente il vertice non visitato con la distanza minima.

Risposta

C · Una coda con priorità di minimo
4.Strutture dati

Risposta: B · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate

Perché è questa la risposta

La scansione lineare avanza di 1, quindi le sequenze occupate crescono e si fondono; il doppio hashing usa un secondo hash per il passo, così chiavi diverse esplorano sequenze diverse.

Risposta

B · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 19

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19

Risposta

L = 19

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 3, C: 1
2. C (1)
3. B (3): D: 10, E: 13
4. D (10): F: 21
5. E (13)
6. F (21)

passo 4

D

Risposta

D

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