Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un quicksort usa sempre il primo elemento come pivot. Su quale input mostra il comportamento del caso peggiore?

  1. AUn array in ordine casuale
  2. BUn array già ordinato
  3. CUn array di lunghezza 2
  4. DUn array con elementi tutti diversi
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come rileva l'algoritmo di Bellman–Ford un ciclo di peso negativo raggiungibile dalla sorgente?

  1. AEsegue due volte l'algoritmo di Dijkstra e confronta i due risultati delle distanze
  2. BDopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
  3. CConta i cicli con una visita in profondità
  4. DControlla se qualche arco ha peso negativo
3.Strutture datiMedia

Quanto dura la ricerca di una parola di lunghezza L in un trie con alfabeto fisso?

  1. AO(n), dove n è il numero di parole
  2. BO(log n), dove n è il numero di parole
  3. CO(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
  4. DO(L × n)
4.Strutture datiDifficile

In un buffer circolare, front == rear può significare sia vuoto sia pieno. Qual è un modo comune per distinguere i due casi?

  1. ARendere la dimensione del buffer una potenza di due
  2. BMantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
  3. CSvuotare sempre il buffer ogni volta che front è uguale a rear, così lo stato è vuoto
  4. DMemorizzare front e rear nella stessa variabile
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 34 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1210720171351114ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Un array già ordinato

Perché è questa la risposta

Su un input ordinato il pivot è sempre il minimo, quindi una parte è vuota e l'altra ha n − 1 elementi, da cui O(n²).

Risposta

B · Un array già ordinato
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato

Perché è questa la risposta

Tutte le vere distanze minime si trovano entro V − 1 turni; se un arco può ancora essere migliorato, deve esistere un ciclo negativo.

Risposta

B · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
3.Strutture dati

Risposta: C · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate

Perché è questa la risposta

Ogni carattere seleziona un figlio, quindi una ricerca richiede L passi qualunque sia il numero di parole contenute nel trie.

Risposta

C · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
4.Strutture dati

Risposta: B · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata

Perché è questa la risposta

Con un contatore, vuoto significa count = 0 e pieno significa count = capacità; con una posizione sempre vuota, pieno si definisce come (rear + 1) mod n == front.

Risposta

B · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 18

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

Risposta

L = 18

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 60

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

EF (5): prendi
BC (7): prendi
AC (10): prendi
GC (11): prendi
AB (12): salta, chiude un ciclo
DE (13): prendi
GD (14): prendi

Peso totale

W = 5 + 7 + 10 + 11 + 13 + 14 = 60

Risposta

W = 60

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