Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale della moltiplicazione di due matrici n × n con il triplo ciclo standard?

AO(n³)
BO(n² log n)
CO(n²)
DO(n)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la differenza tra un problema indecidibile e uno intrattabile?

AI problemi indecidibili sono in NP, mentre quelli intrattabili sono in P
BEntrambi significano che il problema non ha alcun algoritmo
CI problemi intrattabili non si possono risolvere con alcun algoritmo, mentre quelli indecidibili richiedono solo tempo esponenziale
DPer un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

3.Strutture datiMedia

Quanti nodi ha un albero binario perfetto di altezza h, con l'altezza contata in archi?

A2^h
B2^h+1 − 1
C2h + 1
Dh²

4.Strutture datiDifficile

L'eliminazione di un nodo con due figli da un albero binario di ricerca avviene di solito:

AScambiandolo con la radice
BRicostruendo da zero il sottoalbero sottostante e reinserendo tutte le chiavi che conteneva
CSostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
DRimuovendo l'intero sottoalbero

5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 11 vertici e 12 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 11|E| = 12

k =

6.Teoria dei grafiDifficile

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10

W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n³)

Perché è questa la risposta

Ci sono n² voci e ciascuna richiede n moltiplicazioni, per un totale di n³ operazioni.

Risposta

A · O(n³)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

Perché è questa la risposta

Il problema della fermata non ha alcun algoritmo; un problema NP-difficile come il TSP si può risolvere con la forza bruta, solo non in un tempo polinomiale noto.

Risposta

D · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

3.Strutture dati

Risposta: B · 2^h+1 − 1

Perché è questa la risposta

La somma 1 + 2 + 4 + ... + 2^h dà 2^h+1 − 1; per esempio, l'altezza 2 dà 7 nodi.

Risposta

B · 2^h+1 − 1

4.Strutture dati

Risposta: C · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo

Perché è questa la risposta

Il successore in ordine ha al massimo un figlio, quindi può essere rimosso facilmente dopo averne copiato la chiave nel nodo da eliminare.

Risposta

C · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo

5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 2

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

11 − 1 = 10

Lati da togliere

k = 12 − 10 = 2

Risposta

k = 2

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 33

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AB (1): prendi

EF (2): prendi

GD (3): prendi

BD (6): prendi

CE (7): prendi

GB (9): salta, chiude un ciclo

GE (14): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 = 33

Risposta

W = 33

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