Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere l'attività che inizia prima
  2. BScegliere per prima l'attività più breve
  3. CScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
  4. DScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'ordinamento topologico è possibile solo per:

  1. AGrafi non orientati
  2. BGrafi completi
  3. CGrafi con pesi negativi
  4. DGrafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture datiMedia

Hai un riferimento a un nodo a metà di una lista. In quale lista puoi rimuoverlo in O(1)?

  1. AUn array ordinato
  2. BUn array dinamico
  3. CUna lista concatenata semplice
  4. DUna lista doppiamente concatenata
4.Strutture datiDifficile

Perché i B-alberi (B-tree) sono usati nei database e nei file system?

  1. AIl loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
  2. BUsano meno memoria di qualsiasi array, quindi l'intero indice sta sempre nella memoria centrale
  3. CNon richiedono ribilanciamento
  4. DMemorizzano i dati in modo non ordinato
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini di lunghezza 2 vanno da B a F? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

D · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Grafi orientati aciclici (DAG)

Perché è questa la risposta

Un ordinamento topologico esiste se e solo se il grafo orientato non ha cicli; si può trovare in O(V + E) con la DFS o con l'algoritmo di Kahn.

Risposta

D · Grafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture dati

Risposta: D · Una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

Un nodo doppiamente concatenato conosce il suo predecessore, quindi si possono ricollegare direttamente prev e next; in una lista concatenata semplice occorre cercare il predecessore.

Risposta

D · Una lista doppiamente concatenata
4.Strutture dati

Risposta: A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco

Perché è questa la risposta

I B-alberi memorizzano molte chiavi per nodo, quindi l'altezza è ridotta e servono poche letture di blocchi per ogni ricerca; i B+-alberi collegano inoltre le foglie per le scansioni per intervallo.

Risposta

A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vicini comuni

(M²)BF = 1·0 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 1

Risposta

N = 1

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