Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

È corretto dire che un algoritmo O(n²) è anche O(n³)?

  1. ASì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
  2. BNo, perché per n grande n³ è minore di n²
  3. CSì, ma solo se n è minore di 100
  4. DNo, perché l'O grande deve indicare sempre l'esatto tasso di crescita della funzione
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché l'algoritmo di Dijkstra può dare risultati errati quando alcuni pesi degli archi sono negativi?

  1. AI numeri negativi non si possono memorizzare in una coda di priorità
  2. BUn vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
  3. CEntra in un ciclo infinito a ogni arco negativo
  4. DFunziona solo sui grafi non orientati
3.Strutture datiMedia

Come funziona extract-min in un min-heap binario?

  1. ASi cercano in tutte le foglie il nuovo minimo
  2. BSi rimuove la radice e si spostano tutti gli elementi di una posizione a sinistra
  3. CSi sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
  4. DSi rimuove l'ultimo elemento dell'array
4.Strutture datiDifficile

Qual è il vantaggio principale di una skip list rispetto a una lista concatenata ordinata?

  1. AMemorizza le chiavi senza ordine
  2. BNon usa memoria aggiuntiva
  3. CRicerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
  4. DRicerca garantita in O(1) perché ogni nodo memorizza un puntatore a tutti gli altri nodi
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
137210131492ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³

Perché è questa la risposta

L'O grande è un limite superiore, quindi l'affermazione è vera ma non stretta; Θ(n²) indica il tasso di crescita esatto.

Risposta

A · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve

Perché è questa la risposta

Il passo greedy si basa su pesi non negativi perché le distanze estratte siano definitive; quando i pesi possono essere negativi si usa Bellman–Ford.

Risposta

B · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
3.Strutture dati

Risposta: C · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere

Perché è questa la risposta

L'ultimo elemento riempie il vuoto nella radice e viene scambiato con il figlio minore finché la proprietà di heap non è soddisfatta, in O(log n).

Risposta

C · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
4.Strutture dati

Risposta: C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

Perché è questa la risposta

I livelli casuali permettono alle ricerche di saltare molti nodi, ottenendo un tempo atteso O(log n) per ricerca, inserimento e cancellazione.

Risposta

C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

A, B, C, E → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 13, C: 7
2. C (7): B: 9, E: 20
3. B (9): D: 19
4. D (19): F: 28
5. E (20): F: 22
6. F (22)

passo 4

D

Risposta

D

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