Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un algoritmo greedy (goloso):

AFornisce sempre la soluzione ottima
BCompie la scelta localmente migliore a ogni passo
CUsa solo la ricorsione
DProva ogni soluzione possibile

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come rileva l'algoritmo di Bellman–Ford un ciclo di peso negativo raggiungibile dalla sorgente?

AControlla se qualche arco ha peso negativo
BEsegue due volte l'algoritmo di Dijkstra e confronta i due risultati delle distanze
CConta i cicli con una visita in profondità
DDopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato

3.Strutture datiMedia

Hai un riferimento a un nodo a metà di una lista. In quale lista puoi rimuoverlo in O(1)?

AUna lista doppiamente concatenata
BUna lista concatenata semplice
CUn array dinamico
DUn array ordinato

4.Strutture datiDifficile

Qual è il vantaggio principale di una skip list rispetto a una lista concatenata ordinata?

ARicerca garantita in O(1) perché ogni nodo memorizza un puntatore a tutti gli altri nodi
BMemorizza le chiavi senza ordine
CRicerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
DNon usa memoria aggiuntiva

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

Perché è questa la risposta

Gli algoritmi greedy sono veloci e ottimi per alcuni problemi (ad es. Dijkstra, codifica di Huffman) ma non in generale (ad es. il problema del resto con alcuni sistemi di monete).

Risposta

B · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato

Perché è questa la risposta

Tutte le vere distanze minime si trovano entro V − 1 turni; se un arco può ancora essere migliorato, deve esistere un ciclo negativo.

Risposta

D · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato

3.Strutture dati

Risposta: A · Una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

Un nodo doppiamente concatenato conosce il suo predecessore, quindi si possono ricollegare direttamente prev e next; in una lista concatenata semplice occorre cercare il predecessore.

Risposta

A · Una lista doppiamente concatenata

4.Strutture dati

Risposta: C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

Perché è questa la risposta

I livelli casuali permettono alle ricerche di saltare molti nodi, ottenendo un tempo atteso O(log n) per ricerca, inserimento e cancellazione.

Risposta

C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 16

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 5, C: 5

B (5): D: 16, E: 15

C (5)

E (15): F: 16

D (16)

F (16)

Cammino minimo

A → B → E → F

d(F) = 16

Risposta

d(F) = 16

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