Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanto spazio di stack usa una semplice funzione fattoriale ricorsiva fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla selezione del k-esimo elemento più piccolo di un array non ordinato è corretta?

  1. ALa selezione è possibile solo in O(n²)
  2. BIl quickselect richiede O(log n) nel caso peggiore, perché ricorre su un solo lato del pivot
  3. CLa selezione richiede sempre Ω(n log n) perché richiede un ordinamento
  4. DIl quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
3.Strutture datiMedia

Una coda è implementata con due pile: push su una pila «in» e pop da una pila «out», che viene riempita da «in» quando è vuota. Qual è il costo ammortizzato per operazione?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Strutture datiDifficile

Un array dinamico raddoppia quando è pieno. Perché molte implementazioni lo riducono solo quando è pieno per un quarto, e non per metà?

  1. APerché l'allocatore di memoria può liberare memoria solo a quarti di blocco
  2. BPerché dimezzare a metà farebbe perdere elementi
  3. CPer mantenere l'array ordinato
  4. DPer evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 33 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1238201116941418ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice C. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 5.

partenza: Ck = 5
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BD
  4. 4lato DE
  5. 5lato DF
  6. 6lato EF
  7. 7lato GB
  8. 8lato GC
  9. 9lato GD
  10. 10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n)

Perché è questa la risposta

La ricorsione arriva a n chiamate di profondità prima di qualsiasi ritorno, e ogni chiamata richiede un record di attivazione (stack frame), quindi usa O(n) spazio.

Risposta

B · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

Il lavoro atteso del quickselect è n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivot casuali; scegliere il pivot come mediana delle mediane rende lineare il caso peggiore.

Risposta

D · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
3.Strutture dati

Risposta: C · O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni elemento subisce in totale al massimo due push e due pop, quindi anche se un singolo riempimento può costare O(n), la media su una sequenza è O(1).

Risposta

C · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: D · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

Perché è questa la risposta

Ridurre a metà potrebbe provocare un ridimensionamento a ogni operazione in una sequenza del genere; il margine tra 1/4 e pieno mantiene il costo ammortizzato O(1).

Risposta

D · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 13

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 21 = 2(L + 5) − 2
L = 13

Risposta

L = 13

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato DF

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AC (3)
2. GC (4)
3. GB (9)
4. BD (8)
5. DF (11)
6. EF (16)

lato numero 5

DF

Risposta

lato DF

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