Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla notazione o piccolo è corretta?

  1. A2n = o(n), perché 2n cresce lentamente
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n²), ma n non è o(n)
  4. Dn = o(n), perché ogni funzione è o piccolo di se stessa
3.Strutture datiMedia

Le chiavi 50, 30, 70, 20, 40 vengono inserite in quest'ordine in un albero binario di ricerca vuoto. Qual è il figlio sinistro di 30?

  1. A40
  2. B20
  3. C50
  4. D70
4.Strutture datiDifficile

Un albero di Fenwick (binary indexed tree) su un array di n numeri supporta quali operazioni in O(log n)?

  1. AInterrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
  2. BInserimento di elementi in qualsiasi posizione
  3. CRicerca della mediana in O(1)
  4. DOrdinamento dell'array e ricerca binaria
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in B? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Il problema si dimezza a ogni passo con lavoro costante per passo, quindi ci sono circa log₂ n passi.

Risposta

A · O(log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · n = o(n²), ma n non è o(n)

Perché è questa la risposta

f = o(g) significa che f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, ma n / n = 1 no.

Risposta

C · n = o(n²), ma n non è o(n)
3.Strutture dati

Risposta: B · 20

Perché è questa la risposta

20 è minore di 50 e minore di 30, quindi diventa il figlio sinistro di 30; 40 diventa il suo figlio destro.

Risposta

B · 20
4.Strutture dati

Risposta: A · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi

Perché è questa la risposta

Un albero di Fenwick memorizza somme parziali su intervalli determinati dai bit meno significativi di ogni indice, quindi sia le somme prefisse sia gli aggiornamenti puntuali richiedono O(log n).

Risposta

A · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 19

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 43 = 2(L + 13) − 2
L = 19

Risposta

L = 19

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 4

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Vicini comuni

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Risposta

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms