Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale ammortizzata dell'aggiunta in coda a un array dinamico che raddoppia la capacità quando è pieno?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. An! è O(n²)
  2. BCrescono allo stesso ritmo
  3. Cn! cresce più velocemente di 2ⁿ
  4. D2ⁿ cresce più velocemente di n!
3.Strutture datiMedia

Qual è l'altezza nel caso peggiore di un albero binario di ricerca con n nodi se le chiavi vengono inserite in ordine?

  1. A√n
  2. B1
  3. Cn (diventa una lista concatenata)
  4. Dlog₂ n
4.Strutture datiDifficile

Un nodo AVL è sbilanciato perché il sottoalbero destro del suo figlio sinistro è diventato troppo alto (caso sinistra-destra). Quale correzione si applica?

  1. AUna rotazione a destra sul figlio sinistro, poi una rotazione a sinistra sul nodo
  2. BUna singola rotazione a destra sul nodo
  3. CUna rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
  4. DUna singola rotazione a sinistra sul nodo
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 6 vertici e 17 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 6|E| = 17
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
1291141413814ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(1)

Perché è questa la risposta

La copia di tutti gli elementi avviene solo alle potenze di due; distribuito su tutte le aggiunte, il costo medio per aggiunta è costante.

Risposta

A · O(1)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

C · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: C · n (diventa una lista concatenata)

Perché è questa la risposta

Gli inserimenti ordinati creano un albero degenere di altezza n, rendendo le ricerche O(n). Gli alberi bilanciati evitano questo problema.

Risposta

C · n (diventa una lista concatenata)
4.Strutture dati

Risposta: C · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo

Perché è questa la risposta

La prima rotazione trasforma il caso sinistra-destra in un caso sinistra-sinistra, che viene poi corretto da una rotazione a destra sul nodo sbilanciato.

Risposta

C · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

6 − 1 = 5

Lati da togliere

k = 17 − 5 = 12

Risposta

k = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: B

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 12, C: 9
2. C (9): B: 10, E: 23
3. B (10)
4. E (23): D: 37, F: 31
5. F (31)
6. D (37)

passo 3

B

Risposta

B

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