Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

È corretto dire che un algoritmo O(n²) è anche O(n³)?

  1. ANo, perché per n grande n³ è minore di n²
  2. BNo, perché l'O grande deve indicare sempre l'esatto tasso di crescita della funzione
  3. CSì, ma solo se n è minore di 100
  4. DSì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. ATutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
  2. BOgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
  3. CSolo quel problema passerebbe in P
  4. DIl problema della fermata diventerebbe decidibile
3.Strutture datiMedia

Un albero binario ha radice 1 con figlio sinistro 2 e figlio destro 3; il nodo 2 ha figli 4 (sinistro) e 5 (destro). Qual è la visita in preordine?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 2 5 1 3
4.Strutture datiDifficile

Come si può rilevare se una lista concatenata semplice contiene un ciclo usando O(1) memoria aggiuntiva?

  1. ASi ordina la lista e si cercano i duplicati
  2. BSi muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
  3. CSi contano i nodi finché il conteggio supera il campo lunghezza della lista
  4. DSi memorizza ogni nodo visitato in un hash set
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
103341591111ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³

Perché è questa la risposta

L'O grande è un limite superiore, quindi l'affermazione è vera ma non stretta; Θ(n²) indica il tasso di crescita esatto.

Risposta

D · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

B · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: A · 1 2 4 5 3

Perché è questa la risposta

La visita in preordine visita 1, poi il suo sottoalbero sinistro (2, 4, 5), poi 3; le altre opzioni sono la visita in ordine, in postordine e per livelli.

Risposta

A · 1 2 4 5 3
4.Strutture dati

Risposta: B · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano

Perché è questa la risposta

Nell'algoritmo di Floyd, se c'è un ciclo il puntatore veloce prima o poi raggiunge quello lento; altrimenti il puntatore veloce arriva a null.

Risposta

B · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 28

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 10, C: 3
C (3): B: 6, E: 18
B (6): D: 10, E: 17
D (10)
E (17): F: 28
F (28)

Cammino minimo

A → C → B → E → F
d(F) = 28

Risposta

d(F) = 28

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