Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Come costruisce l'algoritmo di Prim un albero ricoprente minimo?

  1. AOrdina tutti gli archi per peso e aggiunge ciascuno di essi a meno che non formi un ciclo nella foresta
  2. BEsegue una visita in ampiezza e conserva l'albero BFS
  3. CRimuove l'arco più costoso finché non restano cicli
  4. DFa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe P è corretta?

  1. AProblemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
  2. BProblemi che richiedono tempo esponenziale su ogni computer
  3. CProblemi che si possono risolvere in parallelo
  4. DProblemi le cui soluzioni si possono verificare ma mai trovare in tempo polinomiale
3.Strutture datiMedia

Un albero binario ha radice 1 con figlio sinistro 2 e figlio destro 3; il nodo 2 ha figli 4 (sinistro) e 5 (destro). Qual è la visita in postordine?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà mantiene ogni B-albero perfettamente bilanciato?

  1. ATutte le foglie sono alla stessa profondità
  2. BOgni nodo ha esattamente due figli
  3. COgni nodo memorizza una sola chiave
  4. DLe chiavi sono memorizzate solo nella radice
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
8141014429714ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 5; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Prim, con una coda di priorità degli archi di attraversamento, richiede O(E log V) con uno heap binario.

Risposta

D · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

P contiene i problemi decisionali con un algoritmo deterministico in tempo polinomiale, come verificare se un grafo è connesso.

Risposta

A · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: C · 4 5 2 3 1

Perché è questa la risposta

La visita in postordine elabora 4 e 5 prima di 2, poi 3 e infine la radice 1.

Risposta

C · 4 5 2 3 1
4.Strutture dati

Risposta: A · Tutte le foglie sono alla stessa profondità

Perché è questa la risposta

I nodi pieni si dividono verso l'alto e l'albero diventa più alto solo quando si divide la radice, quindi tutte le foglie restano sempre allo stesso livello.

Risposta

A · Tutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 14

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Risposta

L = 14

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): C: 8
2. C (8): B: 9, G: 17
3. B (9): D: 13, G: 11
4. G (11): E: 25
5. D (13): E: 23, F: 27
6. E (23)
7. F (27)

passo 5

D

Risposta

D

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