Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Come costruisce l'algoritmo di Prim un albero ricoprente minimo?

  1. ARimuove l'arco più costoso finché non restano cicli
  2. BEsegue una visita in ampiezza e conserva l'albero BFS
  3. COrdina tutti gli archi per peso e aggiunge ciascuno di essi a meno che non formi un ciclo nella foresta
  4. DFa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. AOgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
  2. BLa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
  3. COgni confronto richiede un tempo logaritmico
  4. DUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture datiMedia

Quale condizione di bilanciamento mantiene un albero AVL in ogni nodo?

  1. AOgni nodo è colorato di rosso o di nero
  2. BI due sottoalberi di ogni nodo contengono esattamente lo stesso numero di nodi
  3. CTutte le foglie sono esattamente alla stessa profondità
  4. DLe altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture datiDifficile

Qual è il vantaggio principale di una skip list rispetto a una lista concatenata ordinata?

  1. ARicerca garantita in O(1) perché ogni nodo memorizza un puntatore a tutti gli altri nodi
  2. BNon usa memoria aggiuntiva
  3. CRicerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
  4. DMemorizza le chiavi senza ordine
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in A? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Prim, con una coda di priorità degli archi di attraversamento, richiede O(E log V) con uno heap binario.

Risposta

D · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

D · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: D · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

Perché è questa la risposta

Il fattore di bilanciamento (altezza sinistra − altezza destra) deve essere −1, 0 o 1; le rotazioni lo ripristinano dopo inserimenti e cancellazioni.

Risposta

D · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture dati

Risposta: C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

Perché è questa la risposta

I livelli casuali permettono alle ricerche di saltare molti nodi, ottenendo un tempo atteso O(log n) per ricerca, inserimento e cancellazione.

Risposta

C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 19

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 35 = 2(L + 9) − 2
L = 19

Risposta

L = 19

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Risposta

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms