Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un quicksort usa sempre il primo elemento come pivot. Su quale input mostra il comportamento del caso peggiore?

  1. AUn array già ordinato
  2. BUn array con elementi tutti diversi
  3. CUn array in ordine casuale
  4. DUn array di lunghezza 2
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché una ricerca in una tabella hash è in media O(1) ma nel caso peggiore O(n)?

  1. AMolte chiavi possono collidere nello stesso bucket
  2. BLe funzioni hash sono lente
  3. CGli array hanno accesso O(n)
  4. DLe chiavi devono prima essere ordinate
3.Strutture datiMedia

Quanto dura la ricerca di una parola di lunghezza L in un trie con alfabeto fisso?

  1. AO(n), dove n è il numero di parole
  2. BO(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), dove n è il numero di parole
4.Strutture datiDifficile

Le chiavi 5, 3, 8, 1 vengono inserite in quest'ordine in un min-heap binario vuoto basato su array. Qual è l'array finale?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 2 vertici di grado 5, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
125121262122ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Un array già ordinato

Perché è questa la risposta

Su un input ordinato il pivot è sempre il minimo, quindi una parte è vuota e l'altra ha n − 1 elementi, da cui O(n²).

Risposta

A · Un array già ordinato
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket

Perché è questa la risposta

Con una buona funzione hash e un fattore di carico adeguato, i bucket restano in media corti; un hashing malevolo o scadente può mettere tutte le chiavi in un solo bucket.

Risposta

A · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket
3.Strutture dati

Risposta: B · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate

Perché è questa la risposta

Ogni carattere seleziona un figlio, quindi una ricerca richiede L passi qualunque sia il numero di parole contenute nel trie.

Risposta

B · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
4.Strutture dati

Risposta: D · [1, 3, 8, 5]

Perché è questa la risposta

Dopo 5, 3, 8 l'array è [3, 5, 8]; 1 va all'indice 3, si scambia con il genitore 5 e poi con 3, dando [1, 3, 8, 5].

Risposta

D · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 16

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 38 = 2(L + 12) − 2
L = 16

Risposta

L = 16

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 23

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 12, C: 5
C (5): E: 11
E (11): F: 23
B (12): D: 24
F (23)
D (24)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 23

Risposta

d(F) = 23

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