Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale del quicksort nel caso peggiore?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema della fermata dimostra che:

  1. AAlcuni programmi girano più velocemente su computer più veloci, quindi la terminazione dipende dall'hardware
  2. BI cicli andrebbero evitati
  3. COgni programma prima o poi si ferma
  4. DNessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture datiMedia

Una tabella hash di dimensione 7 usa h(k) = k mod 7 e la scansione lineare. Dopo aver inserito 10, dove viene memorizzato 17?

  1. AAll'indice 0
  2. BAll'indice 3
  3. CAll'indice 4
  4. DAll'indice 6
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AValori hash uguali implicano chiavi uguali
  2. BChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  3. CI valori hash devono essere numeri primi
  4. DChiavi diverse devono avere valori hash diversi
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
713321611715ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n²)

Perché è questa la risposta

Con pivot sistematicamente sfavorevoli (ad es. input già ordinato e primo elemento come pivot) le partizioni sono sbilanciate, dando O(n²). Il caso medio è O(n log n).

Risposta

B · O(n²)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma

Perché è questa la risposta

Turing dimostrò che il problema della fermata è indecidibile: supporre che esista un decisore porta a una contraddizione con un programma che fa l'opposto.

Risposta

D · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture dati

Risposta: C · All'indice 4

Perché è questa la risposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; l'indice 3 è occupato, quindi la scansione lineare prova la posizione successiva, l'indice 4.

Risposta

C · All'indice 4
4.Strutture dati

Risposta: B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 28

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

DE (1): prendi
BD (2): prendi
BC (3): prendi
AB (7): prendi
AC (13): salta, chiude un ciclo
EF (15): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 3 + 7 + 15 = 28

Risposta

W = 28

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