Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanto spazio di stack usa una semplice funzione fattoriale ricorsiva fact(n) = n × fact(n − 1)?

AO(n²)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di Strassen moltiplica matrici usando 7 invece di 8 moltiplicazioni ricorsive di blocchi di metà dimensione. Qual è il suo tempo di esecuzione?

AΘ(n² log n)
BΘ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81
CΘ(n³)
DΘ(n²)

3.Strutture datiMedia

Quanta memoria utilizza una matrice di adiacenza per un grafo con V vertici?

AO(V + E)
BO(E)
CO(V²)
DO(log V)

4.Strutture datiDifficile

Nel BST con radice 50, sottoalbero sinistro 30 (figli 20, 40) e sottoalbero destro 70 (figli 60, 80), la radice viene eliminata usando il successore in ordine. Quale chiave diventa la nuova radice?

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

La ricorsione arriva a n chiamate di profondità prima di qualsiasi ritorno, e ogni chiamata richiede un record di attivazione (stack frame), quindi usa O(n) spazio.

Risposta

D · O(n)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

Perché è questa la risposta

Con a = 7 e b = 2, n^{log₂ 7} domina il lavoro di addizione O(n²), da cui circa n^2,81.

Risposta

B · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

3.Strutture dati

Risposta: C · O(V²)

Perché è questa la risposta

Una matrice di adiacenza memorizza V × V elementi ed è efficiente per grafi densi; le liste di adiacenza usano O(V + E), meglio per grafi sparsi.

Risposta

C · O(V²)

4.Strutture dati

Risposta: C · 60

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra del sottoalbero destro è 60, quindi 60 sostituisce 50 e la sua vecchia posizione viene rimossa; usando il predecessore si otterrebbe 40.

Risposta

C · 60

5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

A, E → 2

Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: B

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 14, C: 10

2. C (10): B: 13, E: 25

3. B (13): D: 15, E: 20

4. D (15): F: 26

5. E (20)

6. F (26)

passo 3

Risposta

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