Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La visita in ampiezza (BFS) su un grafo non pesato trova:

  1. AUn ordinamento topologico in tutti i grafi
  2. BI cammini minimi in grafi che contengono archi con peso negativo
  3. CL'albero ricoprente minimo
  4. DI cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. An! cresce più velocemente di 2ⁿ
  2. BCrescono allo stesso ritmo
  3. C2ⁿ cresce più velocemente di n!
  4. Dn! è O(n²)
3.Strutture datiMedia

Perché in pratica percorrere un array è spesso molto più veloce che percorrere una lista concatenata della stessa lunghezza?

  1. ALe liste concatenate memorizzano sempre gli elementi su disco
  2. BGli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
  3. CLa visita di un array è O(1) in totale, mentre quella di una lista concatenata è O(n)
  4. DGli array usano meno istruzioni per confrontare i valori
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(log n)
  2. BO(m)
  3. CO(n)
  4. DO(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 34 × deg 42 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
8814634141510ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

Perché è questa la risposta

La BFS visita i nodi in ordine di distanza (in archi) dalla sorgente, quindi trova i cammini minimi non pesati in O(V + E).

Risposta

D · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

A · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: B · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU

Perché è questa la risposta

La memoria contigua offre una buona località dei riferimenti, mentre i nodi collegati possono essere sparsi e causare molti cache miss.

Risposta

B · Gli elementi dell'array sono contigui, quindi sfruttano bene la cache della CPU
4.Strutture dati

Risposta: D · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

D · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 14

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 32 = 2(L + 10) − 2
L = 14

Risposta

L = 14

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 35

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): C: 8
C (8): G: 22
G (22): B: 26, D: 37, E: 32
B (26): D: 34
E (32): F: 35
D (34)
F (35)

Cammino minimo

A → C → G → E → F
d(F) = 35

Risposta

d(F) = 35

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