Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La programmazione dinamica è utile quando un problema presenta:

  1. ASottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
  2. BSolo input casuali
  3. CNessun sottoproblema, quindi si risolve in un solo passo
  4. DUn unico ciclo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. AUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
  2. BOgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
  3. CLa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
  4. DOgni confronto richiede un tempo logaritmico
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. AÈ sempre triangolare superiore
  2. BLa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  3. CÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
  4. DOgni riga contiene esattamente un 1
4.Strutture datiDifficile

L'algoritmo di Kahn per l'ordinamento topologico rimuove ripetutamente i vertici con grado entrante 0. Quale struttura contiene questi vertici?

  1. AUna pila di tutti gli archi visitati
  2. BUna coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
  3. CUn max-heap ordinato per grado uscente
  4. DUna matrice di adiacenza che registra quali vertici sono già stati rimossi
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 8 vertici e 17 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 8|E| = 17
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da A a D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima

Perché è questa la risposta

Memorizzare i risultati dei sottoproblemi sovrapposti (memoizzazione o tabulazione) evita lavoro ripetuto, trasformando algoritmi esponenziali in polinomiali.

Risposta

A · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

A · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: B · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0

Perché è questa la risposta

I vertici pronti si tengono in una coda; rimuoverne uno riduce il grado entrante dei suoi vicini, e quelli che arrivano a 0 vengono aggiunti, con un tempo O(V + E).

Risposta

B · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

8 − 1 = 7

Lati da togliere

k = 17 − 7 = 10

Risposta

k = 10
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Un altro passo

(M³)AD = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·0 = 1

Risposta

N = 1

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