Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. AIl merge sort è già O(n)
  2. BLa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
  3. CIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  4. DI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessitàDifficile

22n è in O(2ⁿ)?

  1. ASì, perché i fattori costanti nell'esponente si ignorano sempre nell'O grande
  2. BSì, perché sono entrambi esponenziali
  3. CNo, perché 22n cresce più lentamente di 2ⁿ
  4. DNo, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
3.Strutture datiMedia

Un buffer circolare (ring buffer) è comunemente usato per implementare:

  1. AUn albero binario di ricerca
  2. BUna funzione hash
  3. CUna visita di un grafo
  4. DUna coda di dimensione fissa
4.Strutture datiDifficile

Devi conservare i k valori più piccoli di un flusso di n numeri usando O(k) memoria. Quale approccio funziona in tempo O(n log k)?

  1. AUn min-heap che contiene tutti gli n valori, da cui alla fine si estraggono i k più piccoli
  2. BUn array ordinato di tutti gli n valori
  3. CUna coda FIFO degli ultimi k valori
  4. DUn max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
12241116144ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 5; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite

Perché è questa la risposta

Una costante sommata all'esponente dà un fattore costante, ma una costante che moltiplica l'esponente cambia la base e il tasso di crescita.

Risposta

D · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
3.Strutture dati

Risposta: D · Una coda di dimensione fissa

Perché è questa la risposta

Un buffer circolare usa indici di testa e di coda che ripartono dall'inizio, garantendo enqueue e dequeue in O(1) con memoria fissa.

Risposta

D · Una coda di dimensione fissa
4.Strutture dati

Risposta: D · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

Perché è questa la risposta

La radice del max-heap è il più grande valore conservato; ogni nuovo valore più piccolo la sostituisce in O(log k), quindi l'heap contiene sempre i k valori più piccoli visti finora.

Risposta

D · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 12, C: 2
2. C (2): B: 6, E: 13
3. B (6): D: 7
4. D (7): F: 21
5. E (13): F: 17
6. F (17)

passo 5

E

Risposta

E

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