Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Circa quanti confronti richiede nel caso peggiore la ricerca binaria su un array ordinato di 1,000,000 di elementi?

  1. ACirca 500,000
  2. BCirca 100
  3. CCirca 1,000
  4. DCirca 20
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. ALa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
  2. BÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
  3. CLa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
  4. DÈ indecidibile
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa la visita in profondità (DFS) nella versione iterativa?

  1. AUn heap
  2. BUna coda
  3. CSolo una tabella hash
  4. DUno stack
4.Strutture datiDifficile

L'algoritmo di Kahn per l'ordinamento topologico rimuove ripetutamente i vertici con grado entrante 0. Quale struttura contiene questi vertici?

  1. AUn max-heap ordinato per grado uscente
  2. BUna matrice di adiacenza che registra quali vertici sono già stati rimossi
  3. CUna pila di tutti gli archi visitati
  4. DUna coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 4, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
12216181517201ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Circa 20

Perché è questa la risposta

220 ≈ 1,048,576, quindi dopo circa 20 dimezzamenti resta un solo elemento.

Risposta

D · Circa 20
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

C · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: D · Uno stack

Perché è questa la risposta

La DFS esplora il più in profondità possibile, usando naturalmente uno stack (o lo stack delle chiamate della ricorsione); la BFS usa una coda.

Risposta

D · Uno stack
4.Strutture dati

Risposta: D · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0

Perché è questa la risposta

I vertici pronti si tengono in una coda; rimuoverne uno riduce il grado entrante dei suoi vicini, e quelli che arrivano a 0 vengono aggiunti, con un tempo O(V + E).

Risposta

D · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

Risposta

L = 12

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 47

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BE (1): prendi
AC (2): prendi
AB (12): prendi
DE (15): prendi
BC (16): salta, chiude un ciclo
DF (17): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 12 + 15 + 17 = 47

Risposta

W = 47

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