Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo trova i cammini minimi da una sorgente in un grafo con pesi degli archi non negativi?

AAlgoritmo di Dijkstra
BBellman-Ford è necessario in tutti i casi
CVisita in profondità (DFS)
DAlgoritmo di Kruskal

2.Algoritmi e complessitàDifficile

La moltiplicazione di Karatsuba soddisfa T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual è la soluzione?

AΘ(n²)
BΘ(n³)
CΘ(n log n)
DΘ(n^{log₂ 3}), circa n^1,585

3.Strutture datiMedia

Gli alberi AVL e gli alberi rosso-neri garantiscono:

AUna ricerca in tempo costante in ogni caso
BChe nessun nodo abbia due figli
CUn'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
DChe le chiavi siano memorizzate in ordine di inserimento

4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

AOgni nodo deve essere rosso
BOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
CLa radice deve essere rossa
DOgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 9 vertici e 11 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 9|E| = 11

k =

6.Teoria dei grafiDifficile

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 11

W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Algoritmo di Dijkstra

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Dijkstra funziona con pesi non negativi; Bellman-Ford gestisce pesi negativi; Kruskal costruisce alberi ricoprenti minimi.

Risposta

A · Algoritmo di Dijkstra

2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Θ(n^{log₂ 3}), circa n^1,585

Perché è questa la risposta

Poiché log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, per il teorema dell'esperto dominano le foglie, battendo il metodo scolastico O(n²).

Risposta

D · Θ(n^{log₂ 3}), circa n^1,585

3.Strutture dati

Risposta: C · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento

Perché è questa la risposta

Gli alberi autobilancianti mantengono un'altezza logaritmica, quindi ricerca, inserimento e cancellazione sono O(log n) nel caso peggiore.

Risposta

C · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento

4.Strutture dati

Risposta: D · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

D · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

9 − 1 = 8

Lati da togliere

k = 11 − 8 = 3

Risposta

k = 3

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 37

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

GB (1): prendi

GD (4): prendi

EF (5): prendi

GC (6): prendi

DF (8): prendi

DE (9): salta, chiude un ciclo

BD (10): salta, chiude un ciclo

AC (13): prendi

Peso totale

W = 1 + 4 + 5 + 6 + 8 + 13 = 37

Risposta

W = 37

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