Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo di ordinamento è stabile?

  1. AQuicksort (tipica versione in loco)
  2. BHeap sort
  3. CMerge sort
  4. DSelection sort (versione tipica)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.Strutture datiMedia

Quanta memoria usa una lista di adiacenza per un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.Strutture datiDifficile

Nel BST con radice 50, sottoalbero sinistro 30 (figli 20, 40) e sottoalbero destro 70 (figli 60, 80), la radice viene eliminata usando il successore in ordine. Quale chiave diventa la nuova radice?

  1. A40
  2. B60
  3. C80
  4. D70
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 33 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini chiusi di lunghezza 3 partono e terminano in D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Merge sort

Perché è questa la risposta

Il merge sort è stabile se, in caso di parità, la fusione prende prima dalla metà sinistra. Il quicksort in loco, l'heap sort e il selection sort di solito non sono stabili.

Risposta

C · Merge sort
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n log² n)

Perché è questa la risposta

Il livello k svolge circa n log(n / 2ᵏ) lavoro, e sommando sui log n livelli si ottiene Θ(n log² n), il secondo caso esteso del teorema dell'esperto.

Risposta

A · Θ(n log² n)
3.Strutture dati

Risposta: C · O(V + E)

Perché è questa la risposta

Ogni vertice ha una lista e ogni arco compare una volta (orientato) o due volte (non orientato), per un totale di O(V + E).

Risposta

C · O(V + E)
4.Strutture dati

Risposta: B · 60

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra del sottoalbero destro è 60, quindi 60 sostituisce 50 e la sua vecchia posizione viene rimossa; usando il predecessore si otterrebbe 40.

Risposta

B · 60
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 23

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 45 = 2(L + 12) − 2
L = 23

Risposta

L = 23

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un altro passo

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Risposta

N = 2

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