Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo trova i cammini minimi da una sorgente in un grafo con pesi degli archi non negativi?

  1. ABellman-Ford è necessario in tutti i casi
  2. BAlgoritmo di Dijkstra
  3. CVisita in profondità (DFS)
  4. DAlgoritmo di Kruskal
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. ACrescono allo stesso ritmo
  2. Bn! cresce più velocemente di 2ⁿ
  3. Cn! è O(n²)
  4. D2ⁿ cresce più velocemente di n!
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. AÈ sempre triangolare superiore
  2. BLa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  3. CÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
  4. DOgni riga contiene esattamente un 1
4.Strutture datiDifficile

Come si può rilevare se una lista concatenata semplice contiene un ciclo usando O(1) memoria aggiuntiva?

  1. ASi muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
  2. BSi ordina la lista e si cercano i duplicati
  3. CSi memorizza ogni nodo visitato in un hash set
  4. DSi contano i nodi finché il conteggio supera il campo lunghezza della lista
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
89141343135ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Algoritmo di Dijkstra

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Dijkstra funziona con pesi non negativi; Bellman-Ford gestisce pesi negativi; Kruskal costruisce alberi ricoprenti minimi.

Risposta

B · Algoritmo di Dijkstra
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

B · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: A · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano

Perché è questa la risposta

Nell'algoritmo di Floyd, se c'è un ciclo il puntatore veloce prima o poi raggiunge quello lento; altrimenti il puntatore veloce arriva a null.

Risposta

A · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 24

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 8, C: 9
B (8): D: 21, E: 13
C (9)
E (13): F: 26
D (21): F: 24
F (24)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 24

Risposta

d(F) = 24

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