Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La visita in ampiezza (BFS) su un grafo non pesato trova:

  1. AUn ordinamento topologico in tutti i grafi
  2. BI cammini minimi in grafi che contengono archi con peso negativo
  3. CI cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
  4. DL'albero ricoprente minimo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'insertion sort richiede O(n) su un input ordinato. Questo contraddice il limite inferiore Ω(n log n) per l'ordinamento per confronti?

  1. ASì, quindi il limite inferiore è sbagliato
  2. BSì, ma solo per array più corti di 100
  3. CNo, perché l'insertion sort non è un ordinamento per confronti
  4. DNo, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

  1. AA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
  2. BA rendere la lista ordinata
  3. CA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
  4. DA memorizzare il numero di elementi
4.Strutture datiDifficile

Nel BST con radice 50, sottoalbero sinistro 30 (figli 20, 40) e sottoalbero destro 70 (figli 60, 80), la radice viene eliminata usando il successore in ordine. Quale chiave diventa la nuova radice?

  1. A40
  2. B60
  3. C70
  4. D80
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
14122096151ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice B. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 3.

partenza: Bk = 3
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

Perché è questa la risposta

La BFS visita i nodi in ordine di distanza (in archi) dalla sorgente, quindi trova i cammini minimi non pesati in O(V + E).

Risposta

C · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input

Perché è questa la risposta

Il limite dice che ogni ordinamento per confronti richiede circa n log n confronti su qualche input di dimensione n; input particolari possono essere molto più veloci.

Risposta

D · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
3.Strutture dati

Risposta: A · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

A · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture dati

Risposta: B · 60

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra del sottoalbero destro è 60, quindi 60 sostituisce 50 e la sua vecchia posizione viene rimossa; usando il predecessore si otterrebbe 40.

Risposta

B · 60
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 360

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Risposta

H = 360
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BD

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. BE (1)
2. CE (6)
3. BD (9)
4. AC (12)

lato numero 3

BD

Risposta

lato BD

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