Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché nell'O grande la base del logaritmo di solito si omette, come in O(log n)?

  1. ALa base conta solo per n piccolo
  2. BLogaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
  3. CTutti i logaritmi in informatica hanno base 10, quindi è sottintesa
  4. DI logaritmi sono sempre arrotondati a interi
2.Algoritmi e complessitàDifficile

22n è in O(2ⁿ)?

  1. ANo, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
  2. BSì, perché sono entrambi esponenziali
  3. CNo, perché 22n cresce più lentamente di 2ⁿ
  4. DSì, perché i fattori costanti nell'esponente si ignorano sempre nell'O grande
3.Strutture datiMedia

In un heap binario memorizzato in un array a partire dall'indice 0, dove si trova il genitore del nodo all'indice i?

  1. AAll'indice 2i + 1
  2. BAll'indice ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CAll'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DAll'indice i − 1
4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

  1. AA scegliere il vertice di partenza
  2. BA ordinare gli archi per peso
  3. CA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
  4. DA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
3177211101415ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante

Perché è questa la risposta

Cambiare base moltiplica il logaritmo per una costante, e l'O grande ignora i fattori costanti.

Risposta

B · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite

Perché è questa la risposta

Una costante sommata all'esponente dà un fattore costante, ma una costante che moltiplica l'esponente cambia la base e il tasso di crescita.

Risposta

A · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
3.Strutture dati

Risposta: C · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Perché è questa la risposta

I figli di i sono a 2i + 1 e 2i + 2, quindi il genitore di i è ⌊(i − 1) / 2⌋; con indici a partire da 1 è ⌊i / 2⌋.

Risposta

C · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Strutture dati

Risposta: C · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

C · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 36

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BD (2): prendi
AB (3): prendi
BC (7): prendi
DE (10): prendi
CE (11): salta, chiude un ciclo
DF (14): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 7 + 10 + 14 = 36

Risposta

W = 36

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