Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Ordini una volta un array di n elementi e poi rispondi a k query di appartenenza con la ricerca binaria. Qual è il costo totale?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(n + k)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. A2ⁿ cresce più velocemente di n!
  2. Bn! cresce più velocemente di 2ⁿ
  3. Cn! è O(n²)
  4. DCrescono allo stesso ritmo
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B11
  3. C24
  4. D14
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura permette di calcolare il massimo di ogni finestra di dimensione k di un array in tempo totale O(n)?

  1. AUna deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
  2. BUn min-heap ricostruito per ogni finestra
  3. CUn array ordinato aggiornato con spostamenti
  4. DUna lista concatenata semplice degli elementi della finestra
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 13 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 13
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
71561113414115142ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n log n + k log n)

Perché è questa la risposta

L'ordinamento costa O(n log n) e ogni query O(log n); questo batte k scansioni lineari (O(nk)) quando k è grande.

Risposta

B · O(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

B · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: D · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

D · 14
4.Strutture dati

Risposta: A · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore

Perché è questa la risposta

La testa della deque è sempre il massimo della finestra; ogni indice entra ed esce dalla deque una sola volta, quindi il lavoro è lineare.

Risposta

A · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 2

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 13 − 11 = 2

Risposta

k = 2
6.Teoria dei grafi

Risposta: C

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 7, C: 15
2. B (7): C: 13, D: 18, G: 12
3. G (12): E: 14
4. C (13)
5. E (14): F: 25
6. D (18)
7. F (25)

passo 4

C

Risposta

C

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