Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla notazione o piccolo è corretta?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n), perché ogni funzione è o piccolo di se stessa
  3. C2n = o(n), perché 2n cresce lentamente
  4. Dn = o(n²), ma n non è o(n)
3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

  1. AA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
  2. BA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
  3. CA rendere la lista ordinata
  4. DA memorizzare il numero di elementi
4.Strutture datiDifficile

Perché in un filtro di Bloom standard non si possono semplicemente eliminare gli elementi azzerandone i bit?

  1. AQuei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
  2. BI bit di un filtro di Bloom non si possono modificare dopo la creazione
  3. CI filtri di Bloom memorizzano gli elementi completi, che una volta sottoposti a hash non si possono più ritrovare
  4. DL'eliminazione porterebbe il tasso di falsi positivi al 100%
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
44813112143715ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

A · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · n = o(n²), ma n non è o(n)

Perché è questa la risposta

f = o(g) significa che f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, ma n / n = 1 no.

Risposta

D · n = o(n²), ma n non è o(n)
3.Strutture dati

Risposta: A · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

A · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture dati

Risposta: A · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi

Perché è questa la risposta

Azzerare un bit condiviso farebbe sembrare assente un altro elemento; i filtri di Bloom a conteggio (counting Bloom filter) usano contatori invece di bit per permettere l'eliminazione.

Risposta

A · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 15

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 4, C: 4
B (4): G: 18
C (4): G: 7
G (7): D: 14, E: 22
D (14): F: 15
F (15)
E (22)

Cammino minimo

A → C → G → D → F
d(F) = 15

Risposta

d(F) = 15

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