Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Con monete da 1, 3 e 4 e un importo di 6, quante monete usa il metodo greedy "prima la moneta più grande", rispetto all'ottimo?

  1. AIl greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2
  2. BIl greedy usa 4 monete; l'ottimo è 3
  3. CIl greedy usa 2 monete; l'ottimo è 2
  4. DIl greedy usa 3 monete; l'ottimo è 3
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale limite è corretto per log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(log n)
3.Strutture datiMedia

Che cosa succede quando una tabella hash esegue il rehashing dopo che il fattore di carico ha superato una soglia?

  1. ASolo le chiavi in collisione vengono spostate in una nuova lista di overflow in fondo alla tabella
  2. BLe chiavi più vecchie vengono eliminate per fare spazio
  3. CSi alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
  4. DLe chiavi esistenti vengono ordinate sul posto
4.Strutture datiDifficile

Nel BST con radice 50, sottoalbero sinistro 30 (figli 20, 40) e sottoalbero destro 70 (figli 60, 80), la radice viene eliminata usando il successore in ordine. Quale chiave diventa la nuova radice?

  1. A40
  2. B70
  3. C80
  4. D60
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 2 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1433715123258ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(E) del cammino minimo da A a E nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: E
d(E) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Il greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2

Perché è questa la risposta

Il greedy prende 4 + 1 + 1 = 3 monete, ma 3 + 3 ne usa solo 2, quindi il greedy non è ottimo per questo sistema di monete; la programmazione dinamica sì.

Risposta

A · Il greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n log n)

Perché è questa la risposta

log(n!) ≤ n log n, e gli n / 2 fattori più grandi danno log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); per questo l'ordinamento per confronti richiede Ω(n log n).

Risposta

A · Θ(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: C · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita

Perché è questa la risposta

Poiché l'indice si calcola modulo la dimensione della tabella, tutte le chiavi devono essere ridistribuite nella nuova tabella più grande; raddoppiando la dimensione il costo resta O(1) ammortizzato.

Risposta

C · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
4.Strutture dati

Risposta: D · 60

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra del sottoalbero destro è 60, quindi 60 sostituisce 50 e la sua vecchia posizione viene rimossa; usando il predecessore si otterrebbe 40.

Risposta

D · 60
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 16

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 36 = 2(L + 11) − 2
L = 16

Risposta

L = 16

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(E) = 21

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): C: 14
C (14): B: 17, E: 21, G: 19
B (17): D: 20
G (19)
D (20): F: 32
E (21): F: 24
F (24)

Cammino minimo

A → C → E
d(E) = 21

Risposta

d(E) = 21

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