Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. AÈ indecidibile
  2. BÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
  3. CLa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
  4. DLa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
3.Strutture datiMedia

Qual è l'altezza nel caso peggiore di un albero binario di ricerca con n nodi se le chiavi vengono inserite in ordine?

  1. An (diventa una lista concatenata)
  2. B√n
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.Strutture datiDifficile

Un albero di Fenwick (binary indexed tree) su un array di n numeri supporta quali operazioni in O(log n)?

  1. AInterrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
  2. BOrdinamento dell'array e ricerca binaria
  3. CInserimento di elementi in qualsiasi posizione
  4. DRicerca della mediana in O(1)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 3 partono e terminano in A? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il ciclo interno viene eseguito circa log₂ n volte per ciascuna delle n iterazioni esterne, da cui O(n log n).

Risposta

B · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

C · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: A · n (diventa una lista concatenata)

Perché è questa la risposta

Gli inserimenti ordinati creano un albero degenere di altezza n, rendendo le ricerche O(n). Gli alberi bilanciati evitano questo problema.

Risposta

A · n (diventa una lista concatenata)
4.Strutture dati

Risposta: A · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi

Perché è questa la risposta

Un albero di Fenwick memorizza somme parziali su intervalli determinati dai bit meno significativi di ogni indice, quindi sia le somme prefisse sia gli aggiornamenti puntuali richiedono O(log n).

Risposta

A · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vertici dispari

A, F → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Un altro passo

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 0·0 = 2

Risposta

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms