Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è il tempo di esecuzione del radix sort LSD su n interi con d cifre in base k?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n²)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale della costruzione di un heap binario da n elementi non ordinati con il metodo bottom-up?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(1)
4.Strutture datiDifficile

Quanto tempo serve per cercare una chiave arbitraria in un min-heap binario di n elementi?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 16 vertici e 16 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 16|E| = 16
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
513151112131211ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(d(n + k))

Perché è questa la risposta

Ciascuna delle d passate è un counting sort che costa O(n + k), quindi per d e k fissati il totale è lineare in n.

Risposta

C · O(d(n + k))
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Sommando i costi di discesa (sift-down) su tutti i livelli si ottiene una serie convergente, quindi heapify viene eseguito in tempo lineare.

Risposta

A · O(n)
3.Strutture dati

Risposta: D · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

D · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Un heap non fornisce alcuna regola su quale sottoalbero contenga una chiave, quindi nel caso peggiore bisogna controllare tutti i nodi; solo il minimo si trova rapidamente.

Risposta

C · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 1

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

16 − 1 = 15

Lati da togliere

k = 16 − 15 = 1

Risposta

k = 1
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 28

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 5, C: 1
C (1): B: 4, E: 16, G: 14
B (4)
G (14): D: 26
E (16): F: 28
D (26)
F (28)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 28

Risposta

d(F) = 28

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