Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché nell'O grande la base del logaritmo di solito si omette, come in O(log n)?

ALogaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
BTutti i logaritmi in informatica hanno base 10, quindi è sottintesa
CLa base conta solo per n piccolo
DI logaritmi sono sempre arrotondati a interi

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il costo ammortizzato dell'incremento di un contatore binario, dato che un incremento può invertire molti bit?

AO(1) per incremento
BO(log n) per incremento
CO(n log n) per incremento
DO(n) per incremento

3.Strutture datiMedia

Un buffer circolare (ring buffer) è comunemente usato per implementare:

AUn albero binario di ricerca
BUna funzione hash
CUna visita di un grafo
DUna coda di dimensione fissa

4.Strutture datiDifficile

Inserendo una chiave in un albero AVL il sottoalbero sinistro di un nodo diventa troppo alto, e la nuova chiave è finita nel sottoalbero sinistro del suo figlio sinistro (caso sinistra-sinistra). Quale correzione si applica?

AUna singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
BUna singola rotazione a sinistra sul nodo sbilanciato
CLa ricolorazione del nodo e del figlio
DUna rotazione a sinistra sul figlio, poi una rotazione a destra sul nodo

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante

Perché è questa la risposta

Cambiare base moltiplica il logaritmo per una costante, e l'O grande ignora i fattori costanti.

Risposta

A · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante

2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(1) per incremento

Perché è questa la risposta

Su n incrementi il bit i si inverte circa n / 2ⁱ volte, quindi il totale è inferiore a 2n inversioni, in media O(1) ciascuno.

Risposta

A · O(1) per incremento

3.Strutture dati

Risposta: D · Una coda di dimensione fissa

Perché è questa la risposta

Un buffer circolare usa indici di testa e di coda che ripartono dall'inizio, garantendo enqueue e dequeue in O(1) con memoria fissa.

Risposta

D · Una coda di dimensione fissa

4.Strutture dati

Risposta: A · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

Perché è questa la risposta

Nel caso sinistra-sinistra una rotazione a destra solleva il figlio sinistro e ripristina il bilanciamento; i casi a zig-zag richiedono una doppia rotazione.

Risposta

A · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vertici dispari

C, D → 2

Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 27

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 15, C: 9

C (9)

B (15): D: 17, E: 26

D (17): E: 24, F: 27

E (24)

F (27)

Cammino minimo

A → B → D → F

d(F) = 27

Risposta

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms