Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa misura l'analisi ammortizzata?

  1. AIl costo atteso su input casuali
  2. BIl costo della singola operazione più costosa in un punto qualsiasi della sequenza
  3. CIl costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
  4. DIl costo di un algoritmo sull'input migliore
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale di questi problemi di soddisfacibilità è noto per essere risolvibile in tempo polinomiale?

  1. A3-SAT, in cui ogni clausola ha esattamente tre letterali
  2. BLa soddisfacibilità dei circuiti
  3. CSAT generale su formule in forma normale congiuntiva
  4. D2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture datiMedia

Quale condizione di bilanciamento mantiene un albero AVL in ogni nodo?

  1. AI due sottoalberi di ogni nodo contengono esattamente lo stesso numero di nodi
  2. BTutte le foglie sono esattamente alla stessa profondità
  3. COgni nodo è colorato di rosso o di nero
  4. DLe altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

  1. ALa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
  2. BLa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
  3. CNon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma
  4. DLa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
8154101513114531514ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(C) del cammino minimo da A a C nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: C
d(C) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

L'analisi ammortizzata distribuisce il costo di rare operazioni costose su molte operazioni economiche, dando una media garantita per qualsiasi sequenza.

Risposta

C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

Perché è questa la risposta

2-SAT è in P (tempo lineare tramite componenti fortemente connesse), mentre 3-SAT è NP-completo.

Risposta

D · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture dati

Risposta: D · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

Perché è questa la risposta

Il fattore di bilanciamento (altezza sinistra − altezza destra) deve essere −1, 0 o 1; le rotazioni lo ripristinano dopo inserimenti e cancellazioni.

Risposta

D · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture dati

Risposta: B · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

B · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(C) = 12

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 8, C: 15
B (8): C: 12, D: 18, G: 13
C (12): E: 27
G (13)
D (18): F: 19
F (19)
E (27)

Cammino minimo

A → B → C
d(C) = 12

Risposta

d(C) = 12

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