Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché nell'O grande la base del logaritmo di solito si omette, come in O(log n)?

  1. ALa base conta solo per n piccolo
  2. BLogaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
  3. CTutti i logaritmi in informatica hanno base 10, quindi è sottintesa
  4. DI logaritmi sono sempre arrotondati a interi
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe NP è corretta?

  1. AProblemi che non si possono risolvere in tempo polinomiale
  2. BProblemi che non sono polinomiali
  3. CProblemi che nessun algoritmo può risolvere
  4. DProblemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture datiMedia

In un heap binario memorizzato in un array a partire dall'indice 0, dove si trova il genitore del nodo all'indice i?

  1. AAll'indice 2i + 1
  2. BAll'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CAll'indice i − 1
  4. DAll'indice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Strutture datiDifficile

Quale coppia di visite determina sempre un unico albero binario con chiavi distinte?

  1. APreordine e postordine
  2. BLa sola visita per livelli
  3. CPreordine e ordine simmetrico (inorder)
  4. DIl solo preordine
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 16 vertici e 16 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 16|E| = 16
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
19142203171981312ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante

Perché è questa la risposta

Cambiare base moltiplica il logaritmo per una costante, e l'O grande ignora i fattori costanti.

Risposta

B · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato

Perché è questa la risposta

Per un problema NP, una soluzione proposta (certificato) può essere controllata rapidamente, per esempio verificando che un dato assegnamento soddisfi una formula booleana.

Risposta

D · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture dati

Risposta: B · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Perché è questa la risposta

I figli di i sono a 2i + 1 e 2i + 2, quindi il genitore di i è ⌊(i − 1) / 2⌋; con indici a partire da 1 è ⌊i / 2⌋.

Risposta

B · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Strutture dati

Risposta: C · Preordine e ordine simmetrico (inorder)

Perché è questa la risposta

Il preordine dà la radice, e la sua posizione nella sequenza in ordine separa i sottoalberi sinistro e destro; preordine e postordine sono ambigui quando un nodo ha un solo figlio.

Risposta

C · Preordine e ordine simmetrico (inorder)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 1

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

16 − 1 = 15

Lati da togliere

k = 16 − 15 = 1

Risposta

k = 1
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 41

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

EF (1): prendi
BC (2): prendi
CE (3): prendi
GC (8): prendi
GB (9): salta, chiude un ciclo
GE (12): salta, chiude un ciclo
GD (13): prendi
AC (14): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 3 + 8 + 13 + 14 = 41

Risposta

W = 41

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