Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

La moltiplicazione di Karatsuba soddisfa T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual è la soluzione?

  1. AΘ(nlog₂ 3), circa n1,585
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Gli alberi AVL e gli alberi rosso-neri garantiscono:

  1. AChe nessun nodo abbia due figli
  2. BUn'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
  3. CUna ricerca in tempo costante in ogni caso
  4. DChe le chiavi siano memorizzate in ordine di inserimento
4.Strutture datiDifficile

Un segment tree (albero dei segmenti) è tipicamente usato per:

  1. AImplementare uno stack
  2. BOrdinare stringhe alfabeticamente memorizzando ogni prefisso in un nodo separato dell'albero
  3. CMemorizzare gli archi di un grafo
  4. DRispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 11 vertici e 19 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 11|E| = 19
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
1921514171039ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(2ⁿ)

Perché è questa la risposta

Il numero di chiamate raddoppia a ogni livello e ci sono n livelli, quindi il totale è circa 2ⁿ, come nella Torre di Hanoi.

Risposta

C · O(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585

Perché è questa la risposta

Poiché log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, per il teorema dell'esperto dominano le foglie, battendo il metodo scolastico O(n²).

Risposta

A · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585
3.Strutture dati

Risposta: B · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento

Perché è questa la risposta

Gli alberi autobilancianti mantengono un'altezza logaritmica, quindi ricerca, inserimento e cancellazione sono O(log n) nel caso peggiore.

Risposta

B · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
4.Strutture dati

Risposta: D · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)

Perché è questa la risposta

Un segment tree memorizza valori aggregati per intervalli, supportando interrogazioni su intervalli e aggiornamenti puntuali in tempo O(log n).

Risposta

D · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 9

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

11 − 1 = 10

Lati da togliere

k = 19 − 10 = 9

Risposta

k = 9
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 39

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AC (2): prendi
EF (3): prendi
BE (9): prendi
DE (10): prendi
BD (14): salta, chiude un ciclo
BC (15): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 9 + 10 + 15 = 39

Risposta

W = 39

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