Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo di Bellman–Ford su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

22n è in O(2ⁿ)?

  1. ASì, perché sono entrambi esponenziali
  2. BSì, perché i fattori costanti nell'esponente si ignorano sempre nell'O grande
  3. CNo, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
  4. DNo, perché 22n cresce più lentamente di 2ⁿ
3.Strutture datiMedia

Un albero binario ha radice 1 con figlio sinistro 2 e figlio destro 3; il nodo 2 ha figli 4 (sinistro) e 5 (destro). Qual è la visita in preordine?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 5 2 3 1
4.Strutture datiDifficile

L'eliminazione di un nodo con due figli da un albero binario di ricerca avviene di solito:

  1. AScambiandolo con la radice
  2. BSostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
  3. CRimuovendo l'intero sottoalbero
  4. DRicostruendo da zero il sottoalbero sottostante e reinserendo tutte le chiavi che conteneva
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 4, 2 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1351371081212ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(V × E)

Perché è questa la risposta

Ciascuno dei V − 1 turni rilassa tutti gli E archi, da cui O(VE); in cambio gestisce pesi negativi degli archi.

Risposta

D · O(V × E)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite

Perché è questa la risposta

Una costante sommata all'esponente dà un fattore costante, ma una costante che moltiplica l'esponente cambia la base e il tasso di crescita.

Risposta

C · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
3.Strutture dati

Risposta: A · 1 2 4 5 3

Perché è questa la risposta

La visita in preordine visita 1, poi il suo sottoalbero sinistro (2, 4, 5), poi 3; le altre opzioni sono la visita in ordine, in postordine e per livelli.

Risposta

A · 1 2 4 5 3
4.Strutture dati

Risposta: B · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo

Perché è questa la risposta

Il successore in ordine ha al massimo un figlio, quindi può essere rimosso facilmente dopo averne copiato la chiave nel nodo da eliminare.

Risposta

B · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 14

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Risposta

L = 14

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 28

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 13, C: 5
C (5)
B (13): D: 20, E: 25
D (20): F: 28
E (25)
F (28)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 28

Risposta

d(F) = 28

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