Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(n) ha come soluzione:

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe NP è corretta?

  1. AProblemi che non si possono risolvere in tempo polinomiale
  2. BProblemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
  3. CProblemi che nessun algoritmo può risolvere
  4. DProblemi che non sono polinomiali
3.Strutture datiMedia

Un trie (albero dei prefissi) è particolarmente efficiente per:

  1. ATrovare cammini minimi
  2. BRicerche per prefisso, come il completamento automatico
  3. CMemorizzare matrici
  4. DOrdinare numeri
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α), dove α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
7613121632041710ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice C. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 5.

partenza: Ck = 5
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato DF
  8. 8lato EF
  9. 9lato GD
  10. 10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Risposta

C · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato

Perché è questa la risposta

Per un problema NP, una soluzione proposta (certificato) può essere controllata rapidamente, per esempio verificando che un dato assegnamento soddisfi una formula booleana.

Risposta

B · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture dati

Risposta: B · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

Perché è questa la risposta

I trie memorizzano le stringhe carattere per carattere lungo i percorsi, quindi ricerche e interrogazioni per prefisso richiedono un tempo proporzionale alla lunghezza della chiave.

Risposta

B · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico
4.Strutture dati

Risposta: B · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

B · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato EF

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AC (6)
2. AB (7)
3. BD (12)
4. DE (3)
5. EF (4)
6. GE (10)

lato numero 5

EF

Risposta

lato EF

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