Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa calcola l'algoritmo di Floyd–Warshall, e con quale velocità?

  1. AUn ordinamento topologico in O(V²)
  2. BI cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
  3. CI cammini minimi da un vertice sorgente a tutti gli altri in O(V + E)
  4. DUn albero ricoprente minimo in O(E log V)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. AÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
  2. BLa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
  3. CÈ indecidibile
  4. DLa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(log V)
  2. BO(V)
  3. CO(1)
  4. DO(E)
4.Strutture datiDifficile

L'algoritmo di Kahn per l'ordinamento topologico rimuove ripetutamente i vertici con grado entrante 0. Quale struttura contiene questi vertici?

  1. AUna pila di tutti gli archi visitati
  2. BUna matrice di adiacenza che registra quali vertici sono già stati rimossi
  3. CUna coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
  4. DUn max-heap ordinato per grado uscente
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
10531511511ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)

Perché è questa la risposta

Floyd–Warshall è un algoritmo di programmazione dinamica che ammette a turno ogni vertice come punto intermedio, con tempo O(V³).

Risposta

B · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

B · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: C · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

C · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: C · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0

Perché è questa la risposta

I vertici pronti si tengono in una coda; rimuoverne uno riduce il grado entrante dei suoi vicini, e quelli che arrivano a 0 vengono aggiunti, con un tempo O(V + E).

Risposta

C · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 360

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Risposta

H = 360
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 17

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): C: 10
C (10): B: 15, E: 25
B (15): D: 18, E: 16
E (16): D: 17, F: 17
D (17)
F (17)

Cammino minimo

A → C → B → E → F
d(F) = 17

Risposta

d(F) = 17

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