Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale della moltiplicazione di due matrici n × n con il triplo ciclo standard?

  1. AO(n²)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Prendere entrambi gli estremi di ogni arco di un matching massimale dà una copertura dei vertici. Quanto è buona questa copertura?

  1. AAl massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
  2. BDi qualità ignota rispetto all'ottimo
  3. CAl massimo log n volte il minimo
  4. DSempre una copertura dei vertici minima
3.Strutture datiMedia

Come si trova la chiave minima in un albero binario di ricerca?

  1. ASi visitano tutte le foglie e le si confronta
  2. BSi guarda solo la radice
  3. CSi seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
  4. DSi seguono i figli destri dalla radice finché non c'è più un figlio destro
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura permette di calcolare il massimo di ogni finestra di dimensione k di un array in tempo totale O(n)?

  1. AUna lista concatenata semplice degli elementi della finestra
  2. BUna deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
  3. CUn min-heap ricostruito per ogni finestra
  4. DUn array ordinato aggiornato con spostamenti
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
3213111761219ABCDEF

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice D. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 3.

partenza: Dk = 3
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato CE
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n³)

Perché è questa la risposta

Ci sono n² voci e ciascuna richiede n moltiplicazioni, per un totale di n³ operazioni.

Risposta

C · O(n³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima

Perché è questa la risposta

Gli archi del matching non condividono vertici, quindi l'ottimo ha bisogno di almeno un vertice per arco, mentre questo metodo ne prende due: una 2-approssimazione.

Risposta

A · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
3.Strutture dati

Risposta: C · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra non ha chiavi minori nell'albero, quindi è il minimo; il costo è proporzionale all'altezza.

Risposta

C · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
4.Strutture dati

Risposta: B · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore

Perché è questa la risposta

La testa della deque è sempre il massimo della finestra; ogni indice entra ed esce dalla deque una sola volta, quindi il lavoro è lineare.

Risposta

B · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 360

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Risposta

H = 360
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato CE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. DF (6)
2. EF (12)
3. CE (11)
4. AC (2)
5. AB (3)

lato numero 3

CE

Risposta

lato CE

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