Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La visita in ampiezza (BFS) su un grafo non pesato trova:

  1. AI cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
  2. BUn ordinamento topologico in tutti i grafi
  3. CI cammini minimi in grafi che contengono archi con peso negativo
  4. DL'albero ricoprente minimo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. ATutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
  2. BIl problema della fermata diventerebbe decidibile
  3. COgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
  4. DSolo quel problema passerebbe in P
3.Strutture datiMedia

Un'applicazione ha bisogno di ricerche veloci, ma deve anche elencare le chiavi in ordine e rispondere a interrogazioni su intervalli. Quale struttura è la più adatta?

  1. AUn albero binario di ricerca bilanciato
  2. BUna pila
  3. CUna tabella hash
  4. DUna lista concatenata non ordinata
4.Strutture datiDifficile

Perché un server potrebbe scegliere a caso la propria funzione hash da una famiglia universale?

  1. APer rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
  2. BPer rendere ordinata la tabella hash
  3. CPer garantire che due chiavi non collidano mai, qualunque chiave invii un attaccante
  4. DPer eliminare la necessità di ridimensionare la tabella
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 5, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
11712723156131ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

Perché è questa la risposta

La BFS visita i nodi in ordine di distanza (in archi) dalla sorgente, quindi trova i cammini minimi non pesati in O(V + E).

Risposta

A · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

C · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: A · Un albero binario di ricerca bilanciato

Perché è questa la risposta

Un BST bilanciato offre ricerche in O(log n) e mantiene le chiavi ordinate, quindi la visita in ordine e le interrogazioni su intervalli sono semplici; una tabella hash sparpaglia le chiavi.

Risposta

A · Un albero binario di ricerca bilanciato
4.Strutture dati

Risposta: A · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte

Perché è questa la risposta

Con l'hashing universale il numero atteso di collisioni è piccolo per qualsiasi insieme di chiavi, perché l'attaccante non sa quale funzione è stata scelta.

Risposta

A · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 24

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 52 = 2(L + 15) − 2
L = 24

Risposta

L = 24

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 11, C: 7
2. C (7): E: 9, G: 20
3. E (9): F: 24
4. B (11): D: 18, G: 17
5. G (17)
6. D (18): F: 21
7. F (21)

passo 3

E

Risposta

E

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