Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa ha stabilito il teorema di Cook–Levin?

  1. AIl problema della fermata è indecidibile
  2. BIl problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
  3. CP è diverso da NP
  4. DOgni problema NP si può risolvere in tempo esponenziale
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(log V)
  4. DO(E)
4.Strutture datiDifficile

In una tabella hash con indirizzamento aperto, perché la cancellazione avviene spesso con un marcatore «lapide» (tombstone)?

  1. ASvuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
  2. BLe lapidi velocizzano l'hashing
  3. CRende la tabella ordinata
  4. DLe chiavi cancellate devono essere conservate per sempre per motivi di sicurezza, quindi le posizioni non si possono mai riutilizzare
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

C · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo

Perché è questa la risposta

Cook e Levin dimostrarono indipendentemente che ogni problema in NP si riduce a SAT in tempo polinomiale, quindi SAT fu il primo problema NP-completo noto.

Risposta

B · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
3.Strutture dati

Risposta: A · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

A · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: A · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi

Perché è questa la risposta

Se una posizione cancellata diventasse vuota, le ricerche successive potrebbero fermarsi in anticipo e non trovare chiavi collocate più avanti nella catena di scansione.

Risposta

A · Svuotare la posizione potrebbe interrompere la sequenza di scansione di altre chiavi
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vertici dispari

C, D → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Risposta

N = 2

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