Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché nell'O grande la base del logaritmo di solito si omette, come in O(log n)?

  1. AI logaritmi sono sempre arrotondati a interi
  2. BTutti i logaritmi in informatica hanno base 10, quindi è sottintesa
  3. CLogaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
  4. DLa base conta solo per n piccolo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quali due cose bisogna dimostrare per provare che un problema decisionale X è NP-completo?

  1. AX si riduce a un problema in P, e X è in NP
  2. BX è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale
  3. CX è in P, e X si riduce a SAT
  4. DX non ha un algoritmo polinomiale, e X è decidibile
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa la visita in profondità (DFS) nella versione iterativa?

  1. AUna coda
  2. BUn heap
  3. CUno stack
  4. DSolo una tabella hash
4.Strutture datiDifficile

Perché i B-alberi (B-tree) sono usati nei database e nei file system?

  1. AIl loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
  2. BUsano meno memoria di qualsiasi array, quindi l'intero indice sta sempre nella memoria centrale
  3. CMemorizzano i dati in modo non ordinato
  4. DNon richiedono ribilanciamento
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
11151171115415ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(E) del cammino minimo da A a E nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: E
d(E) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante

Perché è questa la risposta

Cambiare base moltiplica il logaritmo per una costante, e l'O grande ignora i fattori costanti.

Risposta

C · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · X è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

L'appartenenza a NP mostra che X non è più difficile di NP; la riduzione da un problema NP-completo noto mostra che X è almeno difficile quanto tutto NP.

Risposta

B · X è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: C · Uno stack

Perché è questa la risposta

La DFS esplora il più in profondità possibile, usando naturalmente uno stack (o lo stack delle chiamate della ricorsione); la BFS usa una coda.

Risposta

C · Uno stack
4.Strutture dati

Risposta: A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco

Perché è questa la risposta

I B-alberi memorizzano molte chiavi per nodo, quindi l'altezza è ridotta e servono poche letture di blocchi per ogni ricerca; i B+-alberi collegano inoltre le foglie per le scansioni per intervallo.

Risposta

A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

C, E → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(E) = 22

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 11, C: 15
B (11): D: 22, E: 26
C (15): E: 22
D (22): F: 37
E (22): F: 26
F (26)

Cammino minimo

A → C → E
d(E) = 22

Risposta

d(E) = 22

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