Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(n)
DO(log n)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di Strassen moltiplica matrici usando 7 invece di 8 moltiplicazioni ricorsive di blocchi di metà dimensione. Qual è il suo tempo di esecuzione?

AΘ(n³)
BΘ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81
CΘ(n²)
DΘ(n² log n)

3.Strutture datiMedia

Quanto dura la ricerca di una parola di lunghezza L in un trie con alfabeto fisso?

AO(n), dove n è il numero di parole
BO(L × n)
CO(log n), dove n è il numero di parole
DO(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate

4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

ALa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
BLa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket
CLa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
DNon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma

5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K₄? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K₄

H =

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) n^{log₂ 2} = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

C · O(n)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

Perché è questa la risposta

Con a = 7 e b = 2, n^{log₂ 7} domina il lavoro di addizione O(n²), da cui circa n^2,81.

Risposta

B · Θ(n^{log₂ 7}), circa n^2,81

3.Strutture dati

Risposta: D · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate

Perché è questa la risposta

Ogni carattere seleziona un figlio, quindi una ricerca richiede L passi qualunque sia il numero di parole contenute nel trie.

Risposta

D · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate

4.Strutture dati

Risposta: A · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

A · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 15

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 2, C: 8

B (2): D: 17, G: 3

G (3): D: 14

C (8): E: 14

D (14): F: 15

E (14)

F (15)

Cammino minimo

A → B → G → D → F

d(F) = 15

Risposta

d(F) = 15

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