Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. AIl merge sort è già O(n)
  2. BIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  3. CI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
  4. DLa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla selezione del k-esimo elemento più piccolo di un array non ordinato è corretta?

  1. ALa selezione richiede sempre Ω(n log n) perché richiede un ordinamento
  2. BIl quickselect richiede O(log n) nel caso peggiore, perché ricorre su un solo lato del pivot
  3. CLa selezione è possibile solo in O(n²)
  4. DIl quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Strutture datiDifficile

Per ogni elemento di un array vuoi il successivo elemento maggiore alla sua destra, in tempo totale O(n). Quale struttura aiuta?

  1. AUna pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
  2. BUna coda che contiene ogni coppia di elementi
  3. CUna tabella hash di tutti gli elementi
  4. DUn albero binario di ricerca ricostruito per ogni elemento
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
114131272614315ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

C · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

Il lavoro atteso del quickselect è n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivot casuali; scegliere il pivot come mediana delle mediane rende lineare il caso peggiore.

Risposta

D · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
3.Strutture dati

Risposta: D · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

D · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: A · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta

Perché è questa la risposta

Scorrendo da sinistra a destra, si estrae ogni elemento della pila minore di quello corrente (l'elemento corrente è la loro risposta), poi lo si inserisce; ogni elemento si sposta al massimo due volte.

Risposta

A · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Risposta

L = 8

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 38

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

DF (2): prendi
GC (3): prendi
AC (4): prendi
EF (6): prendi
DE (7): salta, chiude un ciclo
AB (11): prendi
CE (12): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 4 + 6 + 11 + 12 = 38

Risposta

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms