Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La complessità temporale del Fibonacci ricorsivo ingenuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) è:

  1. ACostante
  2. BEsponenziale
  3. CLineare
  4. DLogaritmica
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale di questi problemi di soddisfacibilità è noto per essere risolvibile in tempo polinomiale?

  1. ASAT generale su formule in forma normale congiuntiva
  2. BLa soddisfacibilità dei circuiti
  3. C2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
  4. D3-SAT, in cui ogni clausola ha esattamente tre letterali
3.Strutture datiMedia

Un buffer circolare (ring buffer) è comunemente usato per implementare:

  1. AUn albero binario di ricerca
  2. BUna coda di dimensione fissa
  3. CUna funzione hash
  4. DUna visita di un grafo
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AValori hash uguali implicano chiavi uguali
  2. BChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  3. CChiavi diverse devono avere valori hash diversi
  4. DI valori hash devono essere numeri primi
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1718816671ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Esponenziale

Perché è questa la risposta

L'albero delle chiamate cresce all'incirca come φⁿ (circa 1,618ⁿ). La memoizzazione la riduce a O(n).

Risposta

B · Esponenziale
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

Perché è questa la risposta

2-SAT è in P (tempo lineare tramite componenti fortemente connesse), mentre 3-SAT è NP-completo.

Risposta

C · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture dati

Risposta: B · Una coda di dimensione fissa

Perché è questa la risposta

Un buffer circolare usa indici di testa e di coda che ripartono dall'inizio, garantendo enqueue e dequeue in O(1) con memoria fissa.

Risposta

B · Una coda di dimensione fissa
4.Strutture dati

Risposta: B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

B · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vertici dispari

A, B, C, D → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 31

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BE (1): prendi
CE (6): prendi
DE (7): prendi
BC (8): salta, chiude un ciclo
BD (16): salta, chiude un ciclo
AB (17): prendi

Peso totale

W = 1 + 6 + 7 + 17 = 31

Risposta

W = 31

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