Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché una ricerca in una tabella hash è in media O(1) ma nel caso peggiore O(n)?

  1. AGli array hanno accesso O(n)
  2. BLe chiavi devono prima essere ordinate
  3. CMolte chiavi possono collidere nello stesso bucket
  4. DLe funzioni hash sono lente
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. AGli heap non contengono mai più di 100 elementi
  2. BGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
  3. CÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
  4. DTutte le chiavi di un heap sono uguali
4.Strutture datiDifficile

Perché un server potrebbe scegliere a caso la propria funzione hash da una famiglia universale?

  1. APer rendere ordinata la tabella hash
  2. BPer rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
  3. CPer garantire che due chiavi non collidano mai, qualunque chiave invii un attaccante
  4. DPer eliminare la necessità di ridimensionare la tabella
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da A a B? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Il problema si dimezza a ogni passo con lavoro costante per passo, quindi ci sono circa log₂ n passi.

Risposta

A · O(log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket

Perché è questa la risposta

Con una buona funzione hash e un fattore di carico adeguato, i bucket restano in media corti; un hashing malevolo o scadente può mettere tutte le chiavi in un solo bucket.

Risposta

C · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket
3.Strutture dati

Risposta: C · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

C · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte

Perché è questa la risposta

Con l'hashing universale il numero atteso di collisioni è piccolo per qualsiasi insieme di chiavi, perché l'attaccante non sa quale funzione è stata scelta.

Risposta

B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 5

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)AB = 2·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 2·1 + 0·0 = 5

Risposta

N = 5

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