Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

  1. AScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili
  2. BScegliere per prima l'attività più breve
  3. CScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
  4. DScegliere l'attività che inizia prima
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. ATutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
  2. BOgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
  3. CSolo quel problema passerebbe in P
  4. DIl problema della fermata diventerebbe decidibile
3.Strutture datiMedia

Qual è l'altezza nel caso peggiore di un albero binario di ricerca con n nodi se le chiavi vengono inserite in ordine?

  1. An (diventa una lista concatenata)
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. D√n
4.Strutture datiDifficile

Le chiavi 5, 3, 8, 1 vengono inserite in quest'ordine in un min-heap binario vuoto basato su array. Qual è l'array finale?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 14 vertici e 23 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 14|E| = 23
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da C a E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

C · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

B · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: A · n (diventa una lista concatenata)

Perché è questa la risposta

Gli inserimenti ordinati creano un albero degenere di altezza n, rendendo le ricerche O(n). Gli alberi bilanciati evitano questo problema.

Risposta

A · n (diventa una lista concatenata)
4.Strutture dati

Risposta: D · [1, 3, 8, 5]

Perché è questa la risposta

Dopo 5, 3, 8 l'array è [3, 5, 8]; 1 va all'indice 3, si scambia con il genitore 5 e poi con 3, dando [1, 3, 8, 5].

Risposta

D · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

14 − 1 = 13

Lati da togliere

k = 23 − 13 = 10

Risposta

k = 10
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 5

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Un altro passo

(M³)CE = 1·0 + 2·1 + 3·1 + 1·0 + 1·0 = 5

Risposta

N = 5

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