Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Ordini una volta un array di n elementi e poi rispondi a k query di appartenenza con la ricerca binaria. Qual è il costo totale?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n + k)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra con uno heap binario su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO((V + E) log V)
3.Strutture datiMedia

Come funziona extract-min in un min-heap binario?

  1. ASi sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
  2. BSi rimuove l'ultimo elemento dell'array
  3. CSi rimuove la radice e si spostano tutti gli elementi di una posizione a sinistra
  4. DSi cercano in tutte le foglie il nuovo minimo
4.Strutture datiDifficile

L'eliminazione di un nodo con due figli da un albero binario di ricerca avviene di solito:

  1. ARicostruendo da zero il sottoalbero sottostante e reinserendo tutte le chiavi che conteneva
  2. BSostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
  3. CRimuovendo l'intero sottoalbero
  4. DScambiandolo con la radice
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 4, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 4
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1619174932014512ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n log n + k log n)

Perché è questa la risposta

L'ordinamento costa O(n log n) e ogni query O(log n); questo batte k scansioni lineari (O(nk)) quando k è grande.

Risposta

B · O(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O((V + E) log V)

Perché è questa la risposta

Ci sono V operazioni extract-min e fino a E operazioni decrease-key, ciascuna O(log V); uno heap di Fibonacci migliora a O(E + V log V).

Risposta

D · O((V + E) log V)
3.Strutture dati

Risposta: A · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere

Perché è questa la risposta

L'ultimo elemento riempie il vuoto nella radice e viene scambiato con il figlio minore finché la proprietà di heap non è soddisfatta, in O(log n).

Risposta

A · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
4.Strutture dati

Risposta: B · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo

Perché è questa la risposta

Il successore in ordine ha al massimo un figlio, quindi può essere rimosso facilmente dopo averne copiato la chiave nel nodo da eliminare.

Risposta

B · Sostituendolo con il suo successore in ordine (o predecessore) ed eliminando quel nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Risposta

L = 8

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 36

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BC (1): prendi
DF (3): prendi
CE (4): prendi
GD (5): prendi
BD (7): prendi
DE (9): salta, chiude un ciclo
GE (12): salta, chiude un ciclo
GC (14): salta, chiude un ciclo
AB (16): prendi

Peso totale

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 16 = 36

Risposta

W = 36

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