Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Con monete da 1, 3 e 4 e un importo di 6, quante monete usa il metodo greedy "prima la moneta più grande", rispetto all'ottimo?

  1. AIl greedy usa 2 monete; l'ottimo è 2
  2. BIl greedy usa 4 monete; l'ottimo è 3
  3. CIl greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2
  4. DIl greedy usa 3 monete; l'ottimo è 3
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. AÈ sempre triangolare superiore
  2. BLa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  3. COgni riga contiene esattamente un 1
  4. DÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(1 + α), dove α = n / m
  2. BO(log n)
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 20 vertici e 29 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 20|E| = 29
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
127101311631411410ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2

Perché è questa la risposta

Il greedy prende 4 + 1 + 1 = 3 monete, ma 3 + 3 ne usa solo 2, quindi il greedy non è ottimo per questo sistema di monete; la programmazione dinamica sì.

Risposta

C · Il greedy usa 3 monete; l'ottimo è 2
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n log² n)

Perché è questa la risposta

Il livello k svolge circa n log(n / 2ᵏ) lavoro, e sommando sui log n livelli si ottiene Θ(n log² n), il secondo caso esteso del teorema dell'esperto.

Risposta

A · Θ(n log² n)
3.Strutture dati

Risposta: D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: A · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

A · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

20 − 1 = 19

Lati da togliere

k = 29 − 19 = 10

Risposta

k = 10
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 24

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 12, C: 7
C (7): E: 18, G: 11
G (11): D: 21
B (12)
E (18): F: 32
D (21): F: 24
F (24)

Cammino minimo

A → C → G → D → F
d(F) = 24

Risposta

d(F) = 24

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