Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale ammortizzata dell'aggiunta in coda a un array dinamico che raddoppia la capacità quando è pieno?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'ordinamento topologico è possibile solo per:

  1. AGrafi completi
  2. BGrafi non orientati
  3. CGrafi con pesi negativi
  4. DGrafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(1)
  2. BO(E)
  3. CO(V)
  4. DO(log V)
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. AOgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
  2. BOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
  3. CLa radice deve essere rossa
  4. DOgni nodo deve essere rosso
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
91144413191ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(1)

Perché è questa la risposta

La copia di tutti gli elementi avviene solo alle potenze di due; distribuito su tutte le aggiunte, il costo medio per aggiunta è costante.

Risposta

D · O(1)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Grafi orientati aciclici (DAG)

Perché è questa la risposta

Un ordinamento topologico esiste se e solo se il grafo orientato non ha cicli; si può trovare in O(V + E) con la DFS o con l'algoritmo di Kahn.

Risposta

D · Grafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture dati

Risposta: A · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

A · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: A · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

A · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): C: 9
2. C (9): B: 20, E: 13
3. E (13): D: 17, G: 14
4. G (14): B: 15
5. B (15)
6. D (17): F: 30
7. F (30)

passo 3

E

Risposta

E

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