Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa misura l'analisi ammortizzata?

  1. AIl costo atteso su input casuali
  2. BIl costo di un algoritmo sull'input migliore
  3. CIl costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
  4. DIl costo della singola operazione più costosa in un punto qualsiasi della sequenza
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe NP è corretta?

  1. AProblemi che nessun algoritmo può risolvere
  2. BProblemi che non sono polinomiali
  3. CProblemi che non si possono risolvere in tempo polinomiale
  4. DProblemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture datiMedia

In un min-heap binario memorizzato in un array (indici a partire da 0), i figli del nodo all'indice i si trovano a:

  1. Ai/2 e i/2 + 1
  2. Bi + 1 e i + 2
  3. C2i + 1 e 2i + 2
  4. D2i e 2i + 1
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. AOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
  2. BOgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
  3. COgni nodo deve essere rosso
  4. DLa radice deve essere rossa
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1013111031139ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

L'analisi ammortizzata distribuisce il costo di rare operazioni costose su molte operazioni economiche, dando una media garantita per qualsiasi sequenza.

Risposta

C · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato

Perché è questa la risposta

Per un problema NP, una soluzione proposta (certificato) può essere controllata rapidamente, per esempio verificando che un dato assegnamento soddisfi una formula booleana.

Risposta

D · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture dati

Risposta: C · 2i + 1 e 2i + 2

Perché è questa la risposta

Negli array con indici da 0, il figlio sinistro è a 2i + 1, il figlio destro a 2i + 2 e il genitore a ⌊(i − 1)/2⌋.

Risposta

C · 2i + 1 e 2i + 2
4.Strutture dati

Risposta: B · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

B · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

Vertici dispari

B, E → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 10
2. B (10): C: 23, D: 21, E: 19
3. E (19): F: 22
4. D (21)
5. F (22)
6. C (23)

passo 4

D

Risposta

D

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