Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Nel problema della selezione di attività, quale regola greedy dà sempre il numero massimo di attività non sovrapposte?

AScegliere per prima l'attività più breve
BScegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili
CScegliere l'attività che inizia prima
DScegliere per prima l'attività con meno sovrapposizioni, poi ripetere con quelle compatibili

2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di programmazione dinamica di Held–Karp risolve esattamente il problema del commesso viaggiatore. Qual è il suo tempo di esecuzione per n città?

AO(n³)
BO(n² 2ⁿ)
CO(n!)
DO(2^n²)

3.Strutture datiMedia

Una rete stradale ha 100,000 incroci, ciascuno collegato a circa altri 4. Quale rappresentazione è la più adatta?

ALista di adiacenza
BUn heap binario di archi
CMatrice di adiacenza
DUn unico array ordinato di vertici

4.Strutture datiDifficile

Qual è il vantaggio principale di una skip list rispetto a una lista concatenata ordinata?

ARicerca garantita in O(1) perché ogni nodo memorizza un puntatore a tutti gli altri nodi
BNon usa memoria aggiuntiva
CRicerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
DMemorizza le chiavi senza ordine

5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 9 vertici e 13 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 9|E| = 13

k =

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

Perché è questa la risposta

Si può dimostrare con un argomento di scambio che scegliere il tempo di fine più precoce è ottimo; le altre regole hanno controesempi.

Risposta

B · Scegliere l'attività che termina prima, poi ripetere con quelle compatibili

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n² 2ⁿ)

Perché è questa la risposta

Ci sono circa n 2ⁿ stati, ciascuno calcolato in O(n); è esponenziale ma molto più veloce che provare tutti gli (n − 1)! giri.

Risposta

B · O(n² 2ⁿ)

3.Strutture dati

Risposta: A · Lista di adiacenza

Perché è questa la risposta

Una matrice richiederebbe 10¹⁰ celle, quasi tutte vuote; una lista di adiacenza memorizza solo le circa 400,000 voci degli archi.

Risposta

A · Lista di adiacenza

4.Strutture dati

Risposta: C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

Perché è questa la risposta

I livelli casuali permettono alle ricerche di saltare molti nodi, ottenendo un tempo atteso O(log n) per ricerca, inserimento e cancellazione.

Risposta

C · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 5

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

9 − 1 = 8

Lati da togliere

k = 13 − 8 = 5

Risposta

k = 5

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 27

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 8, C: 9

B (8): D: 17, E: 19

C (9): E: 14

E (14): F: 27

D (17)

F (27)

Cammino minimo

A → C → E → F

d(F) = 27

Risposta

d(F) = 27

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